决策论，Decision Making

这里叙述决策论中两个重要的用于量化决策标准的权重的算法。

1.层次分析法，AHP

层次分析法（Analytic Hierarchy Process）通过引入专家的经验，估计不同决策标准之间的相对重要程度，最后计算各自的权重。由此可以得到，\(\mathtt{AHP}\)算法具有比较强的主观性，最后的效果与专家打分的结果直接相关。

假设我们现在对\(n\)个样本\(\{p_i\}\)分别有\(m\)个决策标准\(\{c_j\}\)，\(\mathtt{AHP}\)算法主要分为三步：

1. 通过两两比较，得到不同决策标准之间的相对重要程度矩阵\(A=(a_{ij})_{m\times m}\)，其中：

   \[a_{ij}= \begin{cases} &1,\quad &if\space c_i\space and\space c_j\space are\space of\space \mathbf{equal}\space importance\\ &3,\quad &if\space c_i\space is\space \mathbf{weakly}\space more\space important\space than\space c_j\\ &5,\quad &if\space c_i\space is\space \mathbf{strongly}\space more\space important\space than\space c_j\\ &7,\quad &if\space c_i\space is\space \mathbf{very\space strongly}\space more\space important\space than\space c_j\\ &9,\quad &if\space c_i\space is\space \mathbf{absolutely}\space more\space important\space than\space c_j\\ &2,4,6,8\quad &intermediate\space values \end{cases}\]

   这里假定\(c_i\)的重要程度不低于\(c_j\)，另外有\(a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}\)，\(i\neq j\)，及\(a_{ii}=1\)。

   对矩阵\(A\)做一些标准化的操作，得到\(A^{'}=(a_{ij}^{'})_{m\times m}\)，其中：

   \[a_{ij}^{'}=\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^ma_{kj}}\]

   最后得到各个决策标准的权重向量\(\mathbf{w}=\{w_1\space w_2\space \cdots\space w_m\}^T\)：

   \[w_i=\frac{\sum_{k=1}^ma_{ik}^{'}}{m}\]

2. 在得出权重向量\(\mathbf{w}\)后，我们还需要对初始的矩阵\(A\)做一致性检测。这里的一致性，指的就是最理想的情况下，有\(\forall i,j,k\)，有\(a_{ij}\cdot a_{jk}=a_{jk}\)。此检测的目的，最重要的是为了保证不会存在类似于这样的情况：\(c_i\)比\(c_j\)重要，\(c_j\)比\(c_k\)重要，\(c_k\)比\(c_i\)重要。

   定义一致性指标（Consistency Index）\(\mathtt{CI}=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}\)，其中\(\lambda_{max}\)表示矩阵\(A\)的特征值的最大值。取随机指标（Random Index）\(\mathtt{RI}\)，计算一致性比率（Consistency Ratio）\(\mathtt{CR}=\frac{\mathtt{CI}}{\mathtt{RI}}\)。其中\(\mathtt{RI}\)的取值通过查表得到：

   \(\mathbf{m}\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   \(\mathtt{RI}\)	0.00	0.00	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49

   如果计算出的\(\mathtt{CI}<0.10\)，那么说明一致性较好，进而说明\(\mathtt{AHP}\)算法在此应用中是有效的。

3. 设针对\(n\)个样本\(m\)个决策标准的打分矩阵为\(P=(p_{ij})_{n\times m}\)，则最后各个样本的得分向量\(\mathbf{q}=P\cdot\mathbf{w}\)，其中\(\mathbf{q}=\{q_1\space q_2\space\cdots\space q_n\}^T\)，\(q_i\)表示第\(i\)个物品经由\(\mathtt{AHP}\)算法得到的综合得分。

2.熵权法，EWM

熵权法（Entropy Weight Method）通过衡量各决策标准的价值分散度来计算权重。一般来说，某个决策标准的分散程度越高，所具有的信息就越多，相应地就应该被赋予更高的权重，反之同理。

因此，熵权法是一种客观的，不依赖于专家打分等信息的算法。但是，在某些情况下，熵权法的结果可能会不准确，例如当测量值中的零值较多时。此外，熵权法只考虑了数值区分度，而忽略了指标的排序区分度。

同样，假设我们有\(n\)个样本及\(m\)个决策标准\(\{c_i\}\)，对应的打分矩阵\(P=(p_{ij})_{n\times m}\)，\(\mathtt{EWP}\)算法主要分为三步：

1. 首先对\(P\)中的各列做归一化，得\(P^{'}=(p_{ij}^{'})_{n\times m}\)，其中：

   \[p_{ij}^{'}=\frac{p_{ij}-\min_i p_{ij}}{\max_i p_{ij}-\min_i p_{ij}}\quad or\quad p_{ij}^{'}=\frac{\max_ip_{ij}-p_{ij}}{\max_i p_{ij}-\min_i p_{ij}}\]

   上两式中，具体选择前者还是后者需要考虑\(c_i\)与最后的综合得分是正相关还是负相关的。再计算对各个决策标准进行标准化后的矩阵\(Q=(q_{ij})_{n\times m}\)，其中：

   \[q_{ij}=\frac{p_{ij}^{'}}{\sum_{i=1}^np_{ij}^{'}}\]

2. 计算各个决策标准的熵值\(E_i\)如下：

   \[E_{i}=-\frac{\sum_{i=1}^nq_{ij}\ln q_{ij}}{\ln n}\]

   当\(q_{ij}\)的值越分散时，\(E_{i}\)的值越小。

   此外，考虑函数\(f(x)=x\ln x\)，由\(f^{''}(x)=\frac{1}{x}>0\)得\(f(x)\)为下凸函数，则由琴生不等式（Jensen’s Inequality）得：

   \[E_i=-\frac{\sum_{i=1}^nf(q_{ij})}{\ln n}\leq-\frac{n\cdot f(\frac{\sum_{i=1}^nq_{ij}}{n})}{\ln n}=-\frac{n\cdot f(\frac{1}{n})}{\ln n}=1\]

   取等号当且仅当\(q_{1j}=q_{2j}=\cdots=q_{nj}=\frac{1}{n}\)。从而我们有\(E_i\in[0,1]\)。

   最后，计算权重向量\(\mathbf{w}=\{w_1\space w_2\space\cdots\space w_m\}\)，其中\(w_i\)表示由\(\mathtt{EWM}\)算法计算出的、对应于\(c_i\)的权重：

   \[w_i=\frac{1-E_i}{\sum_{i=1}^m (1-E_i)}\]

3. 计算各个样本的得分向量\(\mathbf{q}=P\cdot\mathbf{w}\)，其中\(\mathbf{q}=\{q_1\space q_2\space\cdots\space q_n\}^T\)，\(q_i\)表示第\(i\)个物品经由\(\mathtt{EWM}\)算法得到的综合得分。