主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

基本原理

在多元统计分析中，主成分分析是一种统计分析、简化数据集的方法，其利用正交变换来对一系列可能相关的变量的观测值进行线性变换，从而投影为一系列线性不相关变量的值，这些不相关变量称为主成分。

• 将坐标轴中心移到数据的中心，然后旋转坐标轴，使得数据在\(C_1\)轴上的方差最大，即全部\(n\)个数据个体在该方向上的投影最为分散，也就意味着更多的信息被保留下来。\(C_1\)成为第一主成分。
• 找一个\(C_2\)，使得\(C_2\)与\(C_1\)的协方差为0，以免与\(C_1\)信息重叠，且使得数据在该方向上方差尽量大。\(C_2\)成为第二主成分。
• 以此类推，找到第三、第四个\(\cdots\)主成分。\(p\)个随机变量可以有\(p\)个主成分。

和线性代数里的主轴定理比较类似，实际上是找到特征向量

PCA对变量的缩放很敏感。

算法步骤

1. 对原始数据进行标准化处理。
2. 计算样本的相关系数矩阵\(R\)。
3. 计算相关系数矩阵\(R\)的特征值\((\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_p)\)和相应特征向量\(\mathbf{a}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{ip})\)。
4. 计算贡献率\(\frac{\lambda_t}{\sum_{i=1}^p\lambda_i}\)，通过贡献率大小选择前\(k\)个主成分。
5. 计算主成分得分。

实例

[coef, score, latent] = pca(A);

注意，这里\(A\)应当是标准化后的矩阵。

返回值中，coef表示各主成分的相对于原数据各列的系数，score为主成分得分（\(\mathit{score}_{ij}=A(i,:)\cdot coef(:,j)\)），latent为主成分方差，也即贡献率，默认情况按照从大到小排列。

在得到主成分得分后，还需根据coef考虑主成分各列的实际含义，做出分析。

clc
clear
A = xlsread('Coporation_evaluation.xlsx', 'B2:I16');

a = size(A,1);
b = size(A,2);
disp([a b])
for i =1:b
    SA(:,i) = (A(:,i) - mean(A(:,i))) / std(A(:,i));
end

CM = corrcoef(SA);
[V, D] = eig(CM);
DS = zeros(b, 3);
for j = 1:b
    DS(j,1) = D(b+1-j, b+1-j);  % descending order
end
for i = 1:b
    DS(i,2) = DS(i,1) / sum(DS(:,1)); % contribution
    DS(i,3) = sum(DS(1:i,1)) / sum(DS(:,1)); % cumulative contribution
end

T = 0.9;
for k = 1:b
    if DS(k,3) >= T
        Com_num = k;
        break
    end
end

PV = zeros(b, Com_num);
for j = 1:Com_num
    PV(:,j) = V(:,b+1-j); % V here may be wrong...
end

new_score = SA*PV;
total_score = zeros(a,2);
for i = 1:a
    total_score(i,1) = sum(new_score(i,:));
    total_score(i,2) = i;
end